若x,y,z均为非负数,且满足x−1=y+12=z−23,则x2+y2+z2可取得的最小值为______.

1个回答

  • 解题思路:用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来,再求其最值即可.

    令x-1=[y+1/2]=[z−2/3]=t,

    则x=t+1,y=2t-1,z=3t+2,

    于是x2+y2+z2=(t+1)2+(2t-1)2+(3t+2)2

    =t2+2t+1+4t2+1-4t+9t2+4+12t

    =14t2+10t+6,

    ∵x,y,z均为非负数,

    ∴x-1≥-1,[y+1/2]≥[1/2],[z−2/3]≥-[2/3],

    ∵x-1=[y+1/2]=t,

    ∴y≥[1/2],

    ∴当t=[1/2]时,其最小值=14×[1/4]+10×[1/2]+6=[29/2].

    故答案为:[29/2].

    点评:

    本题考点: 配方法的应用;非负数的性质:偶次方.

    考点点评: 本题考查了配方法的应用及非负数的性质,解题的关键是利用换元法得到有关x、y、z的二次三项式并求最值.