Question

设正实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证x^2yz+y^2xz+z^2xy

Answer 1

答：

x,y,z>0,

xy/z+yz/x≥2y（均值不等式）

xy/z+xz/y≥2x

yz/x+xz/y≥2z

三式相加,

xy/z+yz/x+xz/y≥x+y+z

两边同乘以xyz

x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2≥x^2yz+y^2xz+z^2xy

(xy+yz+xz)^2=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2(x^2yz+y^2xz+z^2xy)

≥3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)

另外(x-y)^2+y^2+(z-x)^2≥0,展开

x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz

所以1^2≥3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)

x^2yz+y^2xz+z^2xy≤1/3.

如果知道排序不等式,这样证比较简单

3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)

≤3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)

≤2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^4+y^4+z^4)

=(x^2+y^2+z^2)^2=1

所以x^2yz+y^2xz+z^2xy≤1/3.