Question

已知点p是双曲线x^2/a^2-y^2=1(a>0,b>0)右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左右焦点,角PF1F2

Answer 1

已知∠PF1F1=A ,∠PF2F1=B（改成大写,以免与方程中的a,b混淆）

∠F1PF2=π-A-B

sin∠F1PF2=sin(A+B)

利用正弦定理

∴|PF1|/sinB=|PF2|/sinA=2c/sin(A+B)

∴|PF1|=2csinB/sin(A+B),|PF2|=2csinA/sin(A+B)

根据双曲线定义,（P在右支上）

∴ |PF1|-|PF2|=2a

∴2csinB/sin(A+B)-2csinA/sin(A+B)=2a

∴c(sinB-sinA)/sin(A+B)=a

∴c [2cos(B+A)/2*sin(B-A)/2]/[2sin(A+B)/2cos(A+B)/2]=a

∴e*[sin(B/2)cos(A/2)-cos(B/2)sin(A/2)]=sin(B/2)cos(A/2)+cos(B/2)sin(A/2)

∴ (e-1)sin(B/2)cos(A/2)=(e+1)cos(B/2)sin(A/2)

∴[sin(A/2)cos(B/2)]/[cos(A/2)sin(B/2)]=(e-1)/(e+1)

∴ tan(A/2)/tan(B/2)=(e-1)/(e+1)