如图所示,已知AC平行于BD,EA,EB分别平分角CAB和角DBA,CD过E点.求证:AB=AC+BD.

2个回答

  • 方法一:

    过E作EF∥CA交AB于F.

    ∵AC∥FE,∴∠CAE=∠AEF,又∠CAE=∠FAE,∴∠AEF=∠FAE,∴AF=EF.

    ∵AC∥FE、AC∥BD,∴FE∥BD,∴∠BEF=∠DBE,又∠DBE=∠FBE,

    ∴∠FBE=∠BEF,∴BF=EF.

    由AF=EF、BF=EF,得:AF=BF,∴EF是梯形ABCD的中位线,∴EF=(AC+BD)/2.

    由AF=EF、BF=EF,得:AF+BF=2EF,∴AB=2EF.

    由AB=2EF、EF=(AC+BD)/2,得:AB=AC+BD.

    方法二:

    延长BE交AC的延长线于G.

    ∵AG∥BD,∴∠AGB=∠DBG,又∠ABG=∠DBG,∴∠ABG=∠AGB,∴AB=AG.

    ∵AC∥BD,∴∠CAB+∠DBA=180°,又∠BAE=∠CAB/2、∠ABE=∠DBA/2,

    ∴∠BAE+∠ABE=(∠CAB+∠DBA)/2=180°/2=90°,∴AE⊥BG.

    由AB=AG、AE⊥BG,得:BE=GE.

    ∵AG∥BD,∴△BDE∽△GAE,又BE=GE,∴△BDE≌△GAE,∴BD=GC.

    显然有:AG=AC+GC,∴AG=AC+BD.

    由AB=AG、AG=AC+BD,得:AB=AC+BD.