Question

已知等差数列{an}的公差大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=

Answer 1

解题思路：（1）利用根与系数之间的关系先求出a₂，a₅的值，然后联立方程求公差和首项，求出数列{a_n}的通项公式，利用b_n与S_n的关系求{b_n}的通项公式．

（2）先求出c_n=a_n•b_n的通项公式，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和为T_n，然后证明不等式．

（1）因为a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根且等差数列{a_n}的公差大于0，

所以解得a₂=3，a₅=9，所以公差d＝

a5−a2

5−2＝2，所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1．

当n=1时，b1＝S1＝

1−b1

2，解得b1＝

1

3，

当n≥2时，bn＝Sn−Sn−1＝

1

2(bn−1−bn)，

所以

bn

bn−1＝

1

3(n≥2)，所以数列{b_n}是以b₁为首项，公比q＝

1

3的等比数列，

所以bn＝b1qn−1＝(

1

3)n＝

1

3n．

（2）由（1）知，cn＝anbn＝

2n−1

3n，则数列{c_n}的前n项和为T_n，

则Tn＝

1

3+

3

32+…+

2n−1

3n ①

[1/3Tn＝

1

32+

3

33+…+

2n−1

3n+1] ②

①-②得[2/3Tn＝

1

3+

2

32+

2

33+…+

2

3n−

2n−1

3n+1]

=

1

3+

2

32[1−(

1

3)n−1]

1−

1

3−

2n−1

3n+1，

整理得Tn＝1−

n+1

3n+1，因为n∈N^•，所以

n+1

3n+1＞0，

故Tn＝1−

n+1

3n+1＜1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列前n项和问题，要求熟练掌握错位相减法．