Question

设 分别为双曲线 的左右焦点,为双曲线的左顶点,以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 两点,且满足 ,则

Answer 1

数形结合,易得圆半径r=c,我们取斜率为正的渐近线y=bx/a讨论,易知M,N关于原点对称.不防设M(xo,bxo/a),N(-xo,-bxo/a),A(-a,0),xo>0.于是|OM|^2=r^2=c^2=xo^2+(b^2/a^2)xo^2=[(a^2+b^2)/a^2]xo^2=(c^2/a^2)xo^2,解得xo=a,于是M(a,b),N(-a,-b),向量AM=(2a,b),向量AN=(0,-b),cosMAN=cos(AM^AN)=(AM.AN)/(|AM|*|AN|)=-b^2/[b(4a^2+b^2)^0.5]=-1/2,整理得4a^2=3b^2=3c^2-3a^2,于是7a^2=3c^2,从而得离心率e=c/a=(7/3)^0.5（根号下（7/3））.