如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是(  )

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  • 解题思路:根据题意得任意的x∈[3,7],有f(x)≤f(7)恒成立,从而对x∈[-7,-3]都有f(-x)≤f(7)恒成立,由函数为奇函数得对任意的x∈[-7,-3]有f(x)≥f(-7)=-5恒成立.由此可得答案.

    ∵奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,∴f(x)在区间[-7,-3]上也是增函数

    ∵函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,最大值为5,

    ∴当3≤x≤7时,[f(x)]max=f(7)=5,

    即任意的x∈[3,7],f(x)≤f(7)恒成立.

    又∵x∈[-7,-3]时,-x∈[3,7],得f(-x)≤f(7)恒成立,

    ∴根据函数为奇函数,得-f(x)≤f(7)即f(x)≥f(-7),

    ∵f(-7)=-f(7)=-5,

    ∴对任意的x∈[-7,-3],f(x)≥f(-7)=-5恒成立,

    因此,f(x)在区间[-7,-3]上为增函数且有最小值f(-7)=-5.

    故选:D

    点评:

    本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 本题给出函数在某个区间上的奇偶性与单调性,求它在关于原点对称区间上的单调性与最值.着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识,属于中档题.