Question

已知函数f（x）=lnx-m（x- 1 x ）（m为实常数）

Answer 1

（1）当m=

2

5 时，f（x）=lnx-

2

5 （x-

1

x ），

令f′（x）=

1

x -

2

5 （1+

1

x 2 ）=-

(2x-1)(x-2)

5 x 2 =0，得x=2或x=

1

2 （舍去），

当x∈（1，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（1，2）上递增，在（2，e）上递减，

∴当x=2时，f（x） _max=f（2）=ln2-

3

5 ；

（2）f（x）定义域（0，+∞），

f′（x）=

1

x -m （1+

1

x 2 ）=

-m x 2 +x-m

x 2 ，

由题意，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，分如下情况讨论：

①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则-mx ²+x-m≥0，即m≤

x

1+ x 2 在（0，+∞）上恒成立，

当x＞0时，

x

1+ x 2 =

1

1

x +x ∈（0，

1

2 ]，∴m≤0；

②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则-m ²+x-m≤0，即m≥

x

1+ x 2 在（0，+∞）上恒成立，

当x＞0时，

x

1+ x 2 =

1

1

x +x ∈（0，

1

2 ]，∴m≥

1

2 ；

综①②，函数f（x）无极值点时，m的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2 ，+∞）．