Question

已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上．

Answer 1

解题思路：（1）利用点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，可得数列{a_n}是等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；

（2）利用裂项法，可求数列{

1

a

n

a

n+1

}的前n项和S_n．

（1）∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，

∴a_n+1-a_n=1，

∵a₁=1，∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．

∴a_n=1+n-1=n，∴a_n=n；

（2）由（1）知数列

1

anan+1=

1

n(n+1)=

1/n−

1

n+1]，

∴数列{[1

anan+1}的前n项和S_n=1-

1/2]+[1/2−

1

3]+…+[1/n−

1

n+1]=1-[1/n+1]=[n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，正确运用通项及求和公式是关键．