Question

求y的N阶导数,Y等于sinx的平方

Answer 1

因为 y =(sin x)^2,

所以 y' =2 sin x (sin x)'

=2 sin x cos x

= sin 2x,

y'' = 2 cos 2x

= 2 sin (2x +π/2),

y''' =4 cos (2x +π/2)

=4 sin (2x +π).

下面用数学归纳法证明,

y的n阶导数 =2^(n-1) sin [ 2x +(n-1)π ].(n∈N+)

(1) 当 n=1 时,等式成立.

(2) 假设 n=k 时,等式成立,

即 y的k阶导数 =2^(k-1) sin [ 2x +(k-1)π ],

则 y的(k+1) 阶导数 = (2^k) cos [ 2x +(k-1)π ]

= (2^k) sin [ 2x +kπ ].

即 当 n=k+1 时,等式成立.

综上,y的n阶导数 =2^(n-1) sin [ 2x +(n-1)π ].

= = = = = = = = =

高阶导数,常用数学归纳法,或莱布尼兹公式.