选B.
为了说明的方便,我们设A∩B=M,B∪C=N,依题意,M=N.
根据交集的定义,不难知道M是B的子集；
根据并集的定义,不难知道B是N的子集；
于是,根据包含关系的传递性,可以知道M是N的子集.
于是M=B=N
（打个比方,已知a≤b,b≤c,于是有a≤b≤c,此时再有a=c,那就只能是a=b=c了,这是数学中非常有用的“两面夹”原理,到了高等数学里求极限的时候,更是必备利器啊!）
根据以上的分析,可知A∩B=B,B∪C=B.
由A∩B=B,可知B是A的子集；
由B∪C=B,可知C是B的子集；
于是,根据包含关系的传递性,可以知道C是A的子集.
因此,选B.