Question

（2014•芜湖模拟）已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2-nan+λ（n∈N*，λ∈R）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性，即可得到证明对∀n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；

（Ⅱ）根据数列的通项公式，利用放缩法，即可证明不等式．

（Ⅰ）先证明必要性：由题意知∀n∈N^*，a_n≥2n恒成立，

则当n=2时，a₂=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．

充分性：当n=2时，显然成立，

假设当n=k，（k≥2）时，a_k≥2k成立，

则当n=k+1时，a_k+1=a_k²-ka_k+λ=a_k（a_k-k）+λ≥2k²-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），

故对所有的n≥2，有a_n≥2n恒成立，

故a_n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2．

（Ⅱ）当λ=-2．时，a_n≥2n，

即a_n+1-2=a_n²-na_n-4=a_n（a_n-n）-4≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，（n≥2），

则

1

an−2≤

1/2×

1

an−1−2≤…≤

1

2n−2]×[1

a2−2=

1

2n−1，（n≥3）

1

a1−2+

1

a2−2+…+

1

an−2＜1+

1/2+

1

22+…+

1

2n−1]=2−

1

2n−1＜2．

即不等式成立．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查充要条件的证明，以及数学归纳法的应用，综合性较强，运算量较大．