解题思路：本题中中心O所经过的路径总长是几段弧长，根据弧长公式即可得．但本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转36次，就是这样的12个弧长的总长．依此计算即可得．
第一、二次旋转的弧长和=
60π×
3
180+
60π×
3
180=2×
60π×
3
180，
第三次旋转的弧长=[60π×1/180]，
∵36÷3=12，
故中心O所经过的路径总长=12（2×
60π×
3
180+[60π×1/180]），
=（8
3+4）π．
点评：
本题考点： 弧长的计算；菱形的性质．
考点点评： 本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．