Question

设A,B均为正定矩阵,则AB正定当且仅当AB=BA

Answer 1

用 A* 表示矩阵 A 的共轭转置,其余同.

必要性：设 AB 是正定矩阵,则

AB = (AB)* = B*A* = BA.

充分性：设 AB = BA,则我们已看到

AB = BA = B*A* = (AB)*

即 AB 是 Hermite 矩阵,下面只需证它的特征值都是正的.实际上,存在可逆矩阵 Q 使得

A = QQ*

因此

(Q逆) AB Q = Q* BQ = S

即 AB 相似于 S = Q*BQ,因此AB的特征值就是 S的特征值,而显然 S 是正定的,它的特征值都是正数.