Question

已知函数f(x)＝2x−n2+n+2（n∈Z）满足f（8）-f（5）＞0．

Answer 1

解题思路：（1）根据f（8）＞f（5）判定f（x）在第一象限为增函数，得-n²+n+2＞0，求得n=0或n=；

（2）假设存在k＞0满足条件，分析求解h（x）在[-1，2]上的最值，利用值域为[-4，[17/8]]求k值．

（1）∵f（8）＞f（5），

即f（x）在第一象限为增函数，

∴-n²+n+2＞0，得-1＜n＜2，

又由n∈Z，∴n=0或n=1，

∴f（x）=2x²．

（2）假设存在k＞0满足条件，

由已知h（x）=-kx²+（2k-1）x+1，-1≤x≤2，

∵h（2）=-1，

∴两个最值点只能在端点（-1，h（-1））和顶点（[2k−1/2k]，

4k2+1

4k）处取得，

而

4k2−1

4k-h（-1）=

4k2+1

4k-（2-3k）=

(k−1)2

4k≥0，

∴h_max=

4k2+1

4k=[17/8]且h_min=h（-1）=2-3k=-4

解得k=2，

故存在k=2满足条件．

点评：

本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题考查指数函数的单调性，考查函数的值域及与值域相关的存在性问题，解答本题的关键是求h（x）在[-1，2]上的最值．