如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为A

3个回答

  • ∵PA⊥平面ABCD,AB是斜线PB的射影,

    BC⊥AB,

    ∴根据三垂线定理,BC⊥PB,

    ∴△PBC是RT△,

    ∵F是RT△PBC斜边的中点,

    ∴BF=PC/2,

    根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2,

    AC^2=AB^2+BC^2,

    AC=2√3,

    PC=4,

    BF=2,

    ∵PA=PB=2,PA⊥PB,

    ∴△PAB是等腰RT△,

    PB=√2AB=2√2,

    PB=BC=2√2,

    ∴△PBC是等腰RT△,

    BF⊥PC,

    PE=√6,CE=√6,

    PE=CE,

    ∴△PEC是等腰△,

    ∵F是PC中点,

    ∴EF⊥PC,(等腰△三线合一),

    ∵EF∩BF=F,

    ∴PC⊥平面BEF.

    2、设底对角线AC∩BD=O,

    连结FO和EO,延长EO交BC于M,连结FM,

    ∵FO是△PAC的中位线,

    ∴EF//PA,

    ∴EF⊥平面ABCD,

    ∵EM//AB,

    PA∩AB=A,

    EO∩EM=O,

    ∴平面PAB//平面EFM,

    ∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角,

    ∵BM⊥EM,BM⊥FO,

    ∴BM⊥平面EFM,

    △EFM是△EFB在平面EFM上的投影,

    设二面角B-EF-M的平面角为θ,

    S△EFM=S△BEF*cosθ,

    EF=√(PE^2-PF^2)=√(6-4)=√2,

    ∵EF^2+BF^2=BE^2=6,

    ∴△BEF是RT△,

    S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2,

    S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1,

    ∴cosθ=1/√2=√2/2,

    θ=45°,

    ∴平面BEF与平面BAP夹角为45度.