（1）等腰；
（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形，
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A，
∴四边形ABFE为正方形，
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）；
（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：
①当F在边BC上时，如图②所示，
S △BEF≤
S 矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；
②当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，
∵S △EKF=
KF·AH≤
HF·AH=S 矩形AHFD，
S△ BKF=
KF·BH≤
HF·BH=S 矩形BCFH，
∴S △BEF≤
S 矩形ABCD=4，
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4，
下面求面积最大时，点E的坐标，
①当F与点C重合时，如图④所示，
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=
，
∴AE=4-2
，
∴E（4-2
，2），
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示，
此时E（0，2），
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2
，2）。