四元数
四元数是最简单的超复数.
复数是由实数加上元素 i 组成,其中
i^2 = -1 ,.
相似地,四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成,而且它们有如下的关系：
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 ,
每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合,即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk ,.
四元数的性质与特点
四元数(Quaternions)是由威廉·卢云·哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865)在1843年爱尔兰发现的数学概念.四元数的乘法不符合交换律(commutative law),故它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则.
明确地说,四元数是复数的不可交换延伸.如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表著一个四维空间,相对於复数为二维空间.
四元数是除法环的一个例子.除了没有乘法的交换律外,除法环与场是相类的.特别地,乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素.
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数）,并包括复数,但不与复数组成结合代数.四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数.
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果,例如四元数的 n-阶多项式能有多於 n 个不同的根.
复数
复数数系是一个域,复数域常以来表示.
一个实数等同於复数,故实数域为复数域的子域.虚单位就是复数.此外,还有:
加法单位元(“零元”):(0,0)
乘法单位元(“幺元”):(1,0)
(',') 的加法逆元:(−',−')
非零 (',') 的乘法逆元(倒数):
复数域亦可定为代数数的拓扑闭包或实数域的代数闭包.
复平面
复数 ' 可以被看作在被称为阿冈图(得名于让-罗贝尔·阿冈)的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量.这个点也就是这个复数 ' 可以用笛卡尔(直角)坐标指定.复数的笛卡尔坐标是实部 ' = Re(') 和虚部 ' = Im(').复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”.
绝对值、共轭与距离
,则是的「绝对值」（「模」、「幅值」）.如果,则.
对所有及,有 :
当定义了距离,复数域便成了度量空间,我们亦可谈极限和连续.加法,乘法及除法都是连续的运算.
的共轭复数定义为,记作或.如图所示,是在实数线的「倒映」.
若 ' 非零.这是计算乘法逆最常用的等式.
对於所有代数运算,共轭值是可交换 (commute) 的.这即是说.一些非代数运算如正弦「sin」亦有此性质.这是由於的不明确选择 ——有二解.可是,共轭值是不可微分的 (参见全纯函数).
一复数的「偏角」为.此值对模而言是唯一的.
复数运算的几何解释
考虑一个平面.一个点是原点 0.另一个点是单位 1.
两个点 ' 和 ' 的和是点 ' = ' + ' 使得顶点 0,',' 的三角形和顶点 ',',' 的三角形是全等的.
两个点 ' 和 ' 的积是点 ' = A' 使得顶点 0,1,' 的三角形和顶点 ',',' 的三角形是相似的.
点 ' 的共轭复数是点 ' = '* 使得顶点 0,1,' 的三角形和顶点 0,1,' 的三角形相互是镜像.
极坐标形式
作为替代,复数 ' 可以用极坐标来指定.极坐标是叫做绝对值或模的 ' = |'| ≥ 0 和叫做 ' 的辐角的 φ = arg(').对于 ' = 0,任何值的 φ 都描述同一个数.要得到唯一的表示,常规的选择是设置 arg(0) = 0.对于 ' > 0 辐角 φ 模以 2π 后是唯一的；就是说,如果复数辐角的两个值只相差精确的 2π 的整数倍数,则它们被认为是等价的.要得到唯一表示,常规的选择是限制 φ 在区间 (-π,π] 内,就是 −π < φ ≤ π.复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”.