已知椭圆E:x²/4+y²=1,直线l:x=my+1与椭圆交于不同的两点A,B.(1)若直线y=

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  • 1) m=-1 => A(8/5,-3/5) B(0,1) AB=(8根号2)/5

    y=kx=> C D(2/根号(1+4k^2),2k/根号(1+4k^2)) (-2/根号(1+4k^2),-2k/根号(1+4k^2))

    四边形ACBD面积=AB×(C点到直线l:x=-y+1的距离+D点到直线l:x=my+1的距离)/2

    =(8根号2)/5*{[(2+2k)/根号(1+4k^2)+1]+[(2+2k)/根号(1+4k^2)-1]}/根号2/2

    =16(1+k)/根号(1+4k^2)/5

    求出该表达式的最大值即可.

    2)x=my+1代入椭圆方程

    =>(1+m^2/4)y^2+(m/2)y-3/4=0

    =>y1y2=-3/(4+m^2)

    x=my+1

    =>y=(x-1)/m

    代入椭圆方程

    =>(1+m^2)x^2-2x+(1-m^2)=0

    =>x1x2=8/(4+m^2) x1x2=4(1-m^2)/(4+m^2)

    假设M(a,0)

    直线MA与直线MB的斜率之积=y1/(x1-a)*y2/(x2-a)

    =y1y2/[(x1-a)(x2-a)]

    =-3/(4+m^2)/[(4-4m^2)/(4+m^2)-8a/(4+m^2)+a^2]

    =-3/[(a^2-4)m^2+4a^2-8a+4]

    要想上式为常数,a^2-4=0 且4a^2-8a+4不等于0 => a=-2,定点(-2,0)