解题思路：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式和对称轴方程；由于直线PA将该点A，可将其坐标代入直线PA的解析式中，即可得到m的值，易求得D、P的横坐标，将它们代入直线PA的解析式中，即可求得P、D的坐标．
（2）易求得点C（-2，1），根据（1）所得P点坐标可知，当0＜k≤1时，点P位于C点下方，根据C、P的纵坐标即可得到CP的长，而BD的长等于点D的纵坐标，即可由梯形的面积公式求得四边形PBDC的面积，由此可得关于S、k的函数关系式．
（3）当k＜0时，P点位于C点上方，求S、k的函数关系式同（2）完全相同，不同的只是CP的表达式．若以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形，已知了PC∥BD，只需满足PC=BD即可，可根据这个等量关系列出关于k的方程，求出此时k的值．
（4）当k=0时，P、C重合，此时PD=DB=1，即S为定值[1/2]，联立（2）（3）所得结论，即可得到k≤1时S、k的函数关系式．结合函数关系式即可画出S、k的函数图象，根据函数图象即可判断出S的最小值以及对应的k的值，进而可确定出此时多边形的形状．
（1）由题意得
c＝1
1−b+c＝0，
解之得c=1，b=2，
所以二次函数的解析式为：y=x2+2x+1；
由于直线y=kx+m经过点A（0，1），
∴m=1，∴y=kx+1；
当x=-2时，y=-2k+1，
当x=-1时，y=-k+1，
∴P（-2，-2k+1），D（-1，-k+1）．
（2）在y=x2+2x+1中，当x=-2时，y=4-4+1=1，
∴点C坐标为（-2，1），
当0＜k≤1时，CP=1-（-2k+1）=2k，BD=-k+1，
∴S=[2k−k+1/2]=[1/2]k+[1/2]．
（3）当k＜0时，CP=-2k+1-1=-2k，BD=-k+1，
∴S=[−2k−k+1/2]=−
3
2k+[1/2]；
存在k的值，使四边形PDBC是平行四边形，
当PC=DB时，即-2k=-k+1，
∴k=-1；
∴当k=-1时，四边形PDBC是平行四边形．
（4）当k≤1时，S、k的函数关系式为：
S=
1
2k+
1
2(0＜k≤1)
1
2(k＝0)
−
3
2k+
1
2(k＜0)
由题意得S=
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法、分段函数的应用以及分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．