Question

（2014?余姚市模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ

Answer 1

（I）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（[p/2]，0），准线为x=?

p

2，

由抛物线的定义可知：4=3+

p

2，p=2

∴抛物线方程为y²=4x；

（II）由于抛物线y²=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，

设直线AB：x=my+1，与y²=4x联立，消去x，整理得：

y²-4my-4=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），有

y1+y2＝4m

y1y2＝?4

易知k3＝?

t

2，而k1+k2＝

y1?t

x1+1+

y2?t

x2+1

=

(x2+1)(y1?t)+(x1+1)(y2?t)

(x1+1)(x2+1)=

(

y22

4+1)(y1?t)+(

y21

4+1)(y2?t)

(

y21

4+1)(

y22

4+1)

=

?t(4m2+4)

4m2+4＝?t=2k₃

∴存在实数λ=2，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．