设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),已知不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)

2个回答

  • 解题思路:(1)取α=[π/2],β=π,可求得f(1)=a+b+c≥0,f(1)=a+b+c≤0,从而f(1)=0;

    (2)取β=0,有f(3)=9a+3b+c≤0,而f(1)=a+b+c=0,可得b=-(a+c),代入9a-3(a+c)+c≤0可得c≥3a;

    (3)设sinx=t,f(sinx)=f(t)=a

    (t−

    a+c

    2a

    )

    2

    +c-

    (a+c)

    4a

    2

    ,由a>0,c≥3a,可求得[a+c/2a]≥2,从而可得二次函数f(t)在t∈[-1,1]上递减,而f(x)最大=8,问题解决.

    (本小题满分16分)

    (1)取α=

    π

    2,得f(sinα)=f(1)=a+b+c≥0

    取β=π,得f(2+cosβ)=f(1)=a+b+c≤0

    ∴f(1)=0

    (2)证:取β=0,得f(2+cosβ)=f(3)=9a+3b+c≤0

    由(1)得f(1)=a+b+c=0,∴b=-(a+c)代入得9a-3(a+c)+c≤0

    ∴c≥3a

    (3)设sinx=t,则-1≤t≤1又b=-(a+c),

    ∴f(sinx)=f(t)=at2-(a+c)t+c=a(t−

    a+c

    2a)2+c-

    (a+c)

    4a2,

    ∵a>0,c≥3a,

    ∴[a+c/2a]≥[a+3a/2a]=2,

    ∴二次函数f(t)在t∈[-1,1]上递减

    ∴t=-1时,f(x)最大=a+(a+c)+c=8

    ∴a+c=4,b=-(a+c)=-4.

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数恒成立问题;二次函数的性质.

    考点点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值,着重考查恒成立问题与二次函数的性质的应用,换元后分析出其对称轴t=[a+c/2a]≥2是关键,属于难题.