解题思路:(1)取α=[π/2],β=π,可求得f(1)=a+b+c≥0,f(1)=a+b+c≤0,从而f(1)=0;
(2)取β=0,有f(3)=9a+3b+c≤0,而f(1)=a+b+c=0,可得b=-(a+c),代入9a-3(a+c)+c≤0可得c≥3a;
(3)设sinx=t,f(sinx)=f(t)=a
(t−
a+c
2a
)
2
+c-
(a+c)
4a
2
,由a>0,c≥3a,可求得[a+c/2a]≥2,从而可得二次函数f(t)在t∈[-1,1]上递减,而f(x)最大=8,问题解决.
(本小题满分16分)
(1)取α=
π
2,得f(sinα)=f(1)=a+b+c≥0
取β=π,得f(2+cosβ)=f(1)=a+b+c≤0
∴f(1)=0
(2)证:取β=0,得f(2+cosβ)=f(3)=9a+3b+c≤0
由(1)得f(1)=a+b+c=0,∴b=-(a+c)代入得9a-3(a+c)+c≤0
∴c≥3a
(3)设sinx=t,则-1≤t≤1又b=-(a+c),
∴f(sinx)=f(t)=at2-(a+c)t+c=a(t−
a+c
2a)2+c-
(a+c)
4a2,
∵a>0,c≥3a,
∴[a+c/2a]≥[a+3a/2a]=2,
∴二次函数f(t)在t∈[-1,1]上递减
∴t=-1时,f(x)最大=a+(a+c)+c=8
∴a+c=4,b=-(a+c)=-4.
点评:
本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数恒成立问题;二次函数的性质.
考点点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值,着重考查恒成立问题与二次函数的性质的应用,换元后分析出其对称轴t=[a+c/2a]≥2是关键,属于难题.