已知:如图,在△ABC中,AB=AC,M是边BC的中点,∠DME=∠B,MD与射线BA相交于点D,ME与边AC相交于点E

2个回答

  • 解题思路:(1)由AB=AC,∠DME=∠B,易证得∠B=∠C,∠BDM=∠EMC,根据有两角对应相等的三角形相似,即可证得△BDM∽△CME,又由相似三角形的对应边成比例,即可证得结论;

    (2)由DE=ME,BM=CM,易证得△DME∽△CME,则可证得∠EMD=∠B,即可得EM∥AB;

    (3)易证得四边形AMED是菱形,即可求得3∠B=90°,继而求得答案.

    (1)证明:∵∠DMC=∠B+∠BDM,∠DMC=∠DME+∠EMC,∠DME=∠B,

    ∴∠BDM=∠EMC,

    ∵AB=AC,

    ∴∠B=∠C,

    ∴△BDM∽△CME,

    ∴[BD/CM=

    DM

    EM],

    即[BD/DM=

    CM

    EM];

    (2)证明:∵△BDM∽△CME,

    ∴[DM/BM=

    EM

    EC],

    ∵DE=ME,BM=CM,

    ∴[DM/CM=

    DE

    EC],∠DME=∠EDM,

    ∵∠DME=∠B=∠C,

    ∴∠EDM=∠C,

    ∴△DME∽△CME,

    ∴∠EMC=∠EMD,

    ∴∠EMC=∠B,

    ∴EM∥AB;

    (3)连接AM,设AC与DM交于点N,

    ∵AB=AC,M是BC的中点,

    ∴AM⊥BC,

    即∠AMC=90°,

    ∵AB∥ME,

    ∴∠BDM=∠EMD,

    ∵∠EMD=∠EDM,

    ∴∠BDM=∠EDM,

    ∵DM⊥AC,

    ∴∠AND=∠END=90°,

    ∵在△ADN和△EDN中,

    ∠ADN=∠EDN

    DN=DN

    ∠AND=∠END,

    ∴△ADN≌△EDN(ASA),

    ∴AD=DE,

    ∵DE=ME,

    ∴AD=ME,

    ∴四边形AMED是平行四边形,

    ∵AE⊥DM,

    ∴平行四边形AMED是菱形,

    ∴∠AMD=∠DME,

    ∴∠AMD=∠DME=∠EMC,

    ∴∠B=∠EMC=[1/3]×90°=30°.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.