Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx（上限1,下限0）,证明必存

Answer 1

由积分中值定理知：f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx=ηe^(1-η)f(η),

η ∈（0,1） ;

对f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ)变换得： f'(ζ)/f(ζ)=1-ζ^(-1);

将ζ变为x,并对两边积分得：lnf（x）=x-lnx+C；

故设F(x)=lnf（x）-x+lnx ;

F(1)=lnf(1)-1+ln1=lnf(η)-η+lnη=F(η);

由Roll定理知ζ∈（0,1）,使F’（ζ）=0 即f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).