Question

石子空中静止下落,由于空气阻力,石子并非自由落体,已知加速度a=A-Bv (A B为常量）石子速度和运动方程

Answer 1

实际上此题考查的是不定积分的知识.

加速度的积分是速度,速度的积分是位移,或者加速度的二重积分是位移.

反过来也成立,位移的导数是速度,速度的导数是加速度,所以：

v'=a,代入加速度方程可得到：

v'=A-Bv

v'+Bv=A ,利用微积分的非齐次方程的通解,这里过程不好写,我只写出最后结果为：

v=ce^(-Bt)+A/B,当t=0,v=0,代入可得到：c=-A/B；

所以：速度为:

v=-A/B e^(-Bt)+A/B

对速度进行积分,可得到：

s=∫vdt

=∫(-A/Be^(-Bt)+A/B)dt

=∫(-A/Be^(-Bt)dt+∫A/Bdt

=A/B^2* e^(-Bt)+At/B +c

当t=0,s=0,代入可得到：c=-A/B^2

所以:运动方程为：s=A/B^2 *e^(-Bt)+At/B -A/B^2