Question

求证一个关于矩阵的问题如果A 是一个m*n的矩阵 且Ax=0 适用于所有x属于R^n求证A=0

Answer 1

Ax=0 适用于所有x属于R^n,

那么显然向量x1=(1,0,...,0)^T,x2=(0,1,0,...,0)^T,...,xn=(0,...,0,1)^T

都能满足Ax=0

即方程有n个线性无关的解向量,

而由定理可以知道,

方程Ax=0的基础解系中所含的向量个数为n-r(A)个

在这里方程有n个线性无关的解向量

即n=n-r(A)

所以显然r(A)=0,

即矩阵A=0,

于是命题得到了证明