Question

（2013•秀洲区二模）平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．

Answer 1

解题思路：先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的边长等于正方形ABCD边长的 [3/2]，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的[3/2]，然后即可求出第2014个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2014个正方形的面积．

如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，

又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA₁，

在△AOD和△A₁BA中，

∠AOD＝∠ABA1＝90°

∠ADO＝∠BAA1，

∴△AOD∽△A₁BA，

∴OD：AO=AB：A₁B=2，

∴BC=2A₁B，

∴A₁C=[3/2]BC，

以此类推A₂C₁=[3/2]A₁C，A₃C₂=[3/2]A₂C₁，…，

即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的[3/2]倍，

∴第2014个正方形的边长为（[3/2]）²⁰¹³BC，

∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），

∴BC=AD=

12+22=

5，

∴A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃C₂₀₁₂，即第2014个正方形的面积为[（ [3/2]）²⁰¹³BC]²=5×（[3/2]）⁴⁰²⁶=5×（[9/4]）2013．

故选D．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2014个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．