Question

已知函f（x）=e x -x （e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=e ^x-x，∴f′（x）=e ^x-1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．

（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在区间[

1

2 ，1]有解，由f（x）＞ax，得e ^x-x＞ax，即a＜

e x

x -1 在[

1

2 ，2]上有解；

令g（x）=

e x

x -1 ，x∈[

1

2 ，2]，则g′（x）=

(x-1) e x

x 2 ，∴g（x）在[

1

2 ，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；

又g（

1

2 ）=2

e -1，g（2）=

e 2

2 -1，且g（2）＞g（

1

2 ），∴g（x）的最大值为g（2）=

e 2

2 -1，∴a＜

e 2

2 -1．

（3）设存在公差为d的等差数列{a _n}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{b _n}，

使a ₁+a ₂+…+a _n+b ₁+b ₂+…+b _n=S _n

∵ S n =

∫ n0 f(x)dx=

∫ n0 ( e x -x)dx=( e x -

1

2 x 2 )| _ n = e n -

1

2 n 2 -1 ；且b ₁=f（1）=e-1，

∴ a 1 + b 1 = S 1 即 a 1 +e-1=e-

3

2 ；∴a ₁=-

1

2 ，又n≥2时，a _n+b _n=s _n-s _n-1=e ^n-1（e-1）-n+

1

2 ；

故n=2，3时，有

-

1

2 +d+(e-1)q=e(e-1)-

3

2 ①

-

1

2 +2d+(e-1) q 2 = e 2 (e-1)-

5

2 ② ；

②-①×2得，q ²-2q=e ²-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；

此时a _n=-

1

2 +（n-1）（-1）=

1

2 -n， b n =(e-1) e n-1 且 a n + b n =(e-1) e n-1 +

1

2 -n= S n - S n-1 ；

∴存在满足条件的数列{a _n}，{b _n}满足题意．