Question

如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称

Answer 1

解题思路：（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；

（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x₀，-5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；

（3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可．

（1）∵y=x²-bx-5，

∴|OC|=5，

∵|OC|：|OA|=5：1，

∴|OA|=1，

即A（-1，0），

把A（-1，0）代入y=x²-bx-5得：

（-1）²+b-5=0，

解得b=4，

抛物线的解析式为y=x²-4x-5；

（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，-5），设F（x₀，-5），

∴x₀²-4x₀-5=-5，

解得x₀=0（舍去），或x₀=4，

∴F（4，-5），

∴对称轴为直线x=2，

设直线AF的解析式为y=kx+b，

把F（4，-5），A（-1，0），代入y=kx+b，

得

4k+b=-5

-k+b=0，

解得

k=-1

b=-1，

所以，直线FA的解析式为y=-x-1；

（3）存在．

理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，

∵点E是直线y=-x-1与y轴的交点，

∴E（0，-1），

∴P（0，-1），

②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x₁，-x₁-1），

∵∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F（4，-5），

∴CE=CF，

∴EP=PF，

∴CP=PF，

∴点P在抛物线的对称轴上，

∴x₁=2，

把x₁=2代入y=-x-1，得

y=-3，

∴P（2，-3），

综上所述，直线AF上存在点P（0，-1）或（2，-3）使△CFP是直角三角形．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解．