Question

已知函数f（x）=alnx-x 2 ，x=1是f（x）的一个极值点．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=

a

x -2x=-

2 x 2 -a

x （x＞0）

∵x=1是f（x）的一个极值点．

∴f′（1）=0，可得a=2．

（2）f（x）=2lnx-x ²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x ²+m，

则h′（x）=

2

x -2x=-

2

x (x-1)(x+1) ，

令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．

由于x∈[

1

e ，e ]，

则当x∈[

1

e ，1 ]时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；

当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，

则方程h（x）=0在[

1

e ，e ]内有两个不等实根的充要条件是：

h(

1

e )≤0

h(1)＞0

h(e)≤0．

即 1＜m≤2+

1

e 2 ．

（3）若g（x）的图象与x轴交于A（x ₁，0），B（x ₂，0）（其中x ₁＜x ₂），

则方程2lnx-x ²+3x=0的解为x ₁，x ₂（其中x ₁＜x ₂）．

故函数y=2lnx与y=x ²-3x的交点的横坐标为x ₁，x ₂，

作出两函数图象如图．如图所示，

由于 2ln

1

2 =-2ln2≈-1.4 ， (

1

2 ) 2 -3×

1

2 =-

5

4 =-1.25 ，所以

1

2 ＜ x 1 ＜1 ，

同理得到

7

2 ＜ x 2 ＜4 ，

故 -1＜ -x 1 ＜-

1

2 ，所以

5

2 ＜x ₂-x ₁＜

7

2 ．