Question

关于微分中值定理的一道题.函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,且在(a,b)上可导.求证：对于任意正整数n,存在实数ξ

Answer 1

题目有问题

比如 f(x) = x ,a =1,b = 2 ,则 n>=2时,就找不到满足题意的实数ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f'(ξ)(b-ξ)/n成立.

少了条件 f(a)=0

加上 f(a)=0 ,构造函数 g(x) = (x-b)^n*f(x)

则 g(x)满足g(a)=g(b)=0,且在(a,b)上可导,

由中值定理知,存在实数ξ∈(a,b),使得 g'(ξ)=0,即n(ξ-b)^(n-1)*f(ξ)+(ξ-b)^n*f'(ξ)=0

整理即得结论.