Question

在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=2∠A.求证：c²=a²+ab

Answer 1

sinC=sin2A

(sinC)^2=(sin2A)^=(2sinAcosA)^2=4*(sinA)^2*(cosA)^2=4*(sinA)^2*[1-(sinA)^2]=(sinA)^2+3*(sinA)^2-4*(sinA)^4

=(sinA)^2+sinA*[3*(sinA)-4*(sinA)^3]=(sinA)^2+sinA*(sin3A)=(sinA)^2+sinA*[sin(180-3A)]

=(sinA)^2+sinA*sin[(180-(A+2A)]=(sinA)^2+sinA*sin[(180-(A+C)]=(sinA)^2+sinA*sinB

由于a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以c^2=a^2+a