当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时,质点每经历位移ds,其动能的增量是dEk=F·ds,如果外力与位移同方向,则上式成为dEk=Fds,设外力作用于质点的时间为dt,则质点在外力冲量Fdt作用下,其动量增量是dp=Fdt,考虑到v=ds/dt,有上两式相除,即得质点的速度表达式为v=dEk/dp,亦即 dEk=vd(mv)=V^2dm+mvdv,把爱因斯坦的质量随物体速度改变的那个公式平方,得m^2(c^2-v^2)=m02c^2,对它微分求出：mvdv=(c^2-v^2)dm,代入上式得dEk=c^2dm.上式说明,当质点的速度v增大时,其质量m和动能Ek都在增加,质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c^2dm所示的量值上的正比关系.当v=0时,质量m=m0,动能Ek=0,据此,将上式积分,即得∫Ek0dEk=∫m0m c^2dm（从m0积到m）Ek=mc^2-m0c^2 上式是相对论中的动能表达式.爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解,他把m0c^2叫做物体的静止能量,把mc^2叫做运动时的能量,我们分别用E0和E表示：E=mc^2 ,E0=m0c^2 用微积分来推导是:质量（m）和能量（E）的转换关系 E=m*c~2的推导：代表后面的几次方、△代表变化量） m=m0/(1-v~2/c~2)~(1/2) 因为v/c->0 有(1-v~2/c~2)等价1-(v~2/c~2)*(1/2) m0=m*[1-(v~2/c~2)*(1/2)] m0=m-m*(v~2/c~2)*(1/2) m-m0=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m*c~2=(1/2)*m*(v~2)=E E=△m*c~2,这是在初速度为0的情况下的推导,在初速度不为0的情况下推导.得到 △m*c~2=E’- E=△E =>E=Mc~2 还有用微积分的另一种推导方法：m=m./sqrt(1-v2/c2) 两边取平方,再变换得：m2(c2-v2)=m.2c2 m2c2=m2v2+m.2C2 两边微分 2mc2dm=2m2vdv+2v2mdm 同约去2m c2dm=mvdv+v2dm=v(mdv+vdm)=vdp dE=Fdr=(dp/dt)dr=vdp =>c2dm=dE 积分得到 E-E.=mc2-m.c2 “.”代表右下方的0