1.必要性：
若函数f(x)=x|x+m|+n是奇函数
则f(-x)=-f(x)
即-x|m-x|+n=-(x|x+m|+n)
x(|m-x|-|m+x|)=2n.(*)
且f(0)=0
即n=0
代入(*)式,
故x(|m-x|-|m+x|)=0对任意x成立
∴|m-x|=|m+x|
∴m=0
2.充分性
若m=0,n=0
则f(x)=x|x|
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)
∴函数f(x)=x|x|是奇函数
综合1,2知,函数f(x)=x|x+m|+n是奇函数的充要条件为m=0,n=0