Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是 BD的延长线，连接CD．

Answer 1

（1）证明：根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB

∵∠F=∠F，

∴△FDC ∽ △FBA，

∴∠CDF=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）

∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，

∴∠EDF=∠CDF；

（2）证明：由（1）已得出∠ADB=∠ABC，

∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD ∽ △FAB，

∴AD：AB=AB：AF

∴AB ²=AF•AD；

（3）∵∠EDC=120°，

∴∠EDF=∠CDF=60°，

∴∠ACB=∠ADB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABD=30°

Rt△ABD中，AB=6cm，∠ABD=30°，

∴AD=AB•tan30°=2

3 （cm），

由（2）知道：AB ²=AF•AD，即6×6=AF×2

3

∴AF=6

3 （cm）．