解题思路:要保证原函数在定义内单调,需保证其导函数在定义域上不变号,分类讨论,从而求得参数的范围
原函数定义域为(0,+∞)
∴f′(x)=a+
a
x2−
2
x=
ax2−2x+a
x2
∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,
∴f'(x)≤0或f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立
(1)当a=0时,f′(x)=−
2
x<0在(0,+∞)内恒成立,
∴a=0满足题意
(2)当a>0时,设g(x)=ax2-2x+a(x∈(0,+∞))
由题意知△=4-4a2≤0
∴a≤-1或a≥1
又∵a>0
∴a≥1
所以a的取值范围为:a=0或a≥1
点评:
本题考点: 函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 本题考察函数单调性与导数的关系,和分类讨论思想,及二次函数的知识,是导数中常见的恒成立问题,属中档题