已知函数f(x)=ax−ax−2lnx(a≥0),若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围.

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  • 解题思路:要保证原函数在定义内单调,需保证其导函数在定义域上不变号,分类讨论,从而求得参数的范围

    原函数定义域为(0,+∞)

    ∴f′(x)=a+

    a

    x2−

    2

    x=

    ax2−2x+a

    x2

    ∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,

    ∴f'(x)≤0或f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立

    (1)当a=0时,f′(x)=−

    2

    x<0在(0,+∞)内恒成立,

    ∴a=0满足题意

    (2)当a>0时,设g(x)=ax2-2x+a(x∈(0,+∞))

    由题意知△=4-4a2≤0

    ∴a≤-1或a≥1

    又∵a>0

    ∴a≥1

    所以a的取值范围为:a=0或a≥1

    点评:

    本题考点: 函数的单调性与导数的关系.

    考点点评: 本题考察函数单调性与导数的关系,和分类讨论思想,及二次函数的知识,是导数中常见的恒成立问题,属中档题