Question

（2014•银川模拟）已知函数f（x）=ex+ax-1（e为自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（I）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；

（II）将f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为

a≥

1+

x

2

−

e

x

x

在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

（I）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，

函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，

设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，

∴A(

1

e+1，0)，B（0，-1），

∴S△OAB＝

1

2×

1

e+1×1＝

1

2(e+1)，

∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为[1

2(e+1)．

（II）由f（x）≥x²得a≥

1+x2−ex/x]，

令h（x）=

1+x2−ex

x＝

1

x+x−

ex

x，h′(x)＝1−

1

x2−

ex(x−1)

x2＝

(x−1)(x+1−ex)

x2，

令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，

∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，

∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．

因为x-1＜0，x²＞0，所以h′(x)＝

(x−1)(x+1−ex)

x2＞0，

∴h（x）在（0，1）上是增函数．

所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e…（12分）

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．