Question

设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r

Answer 1

证: 将B按列分块为 B=(b1,...,bs)

因为 AB=0

所以 A(b1,...,bs) = (Ab1,...,Abs)=0

所以 Abi=0, i=1,...,s

即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量

所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示

而 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = n-r 个向量

所以 r(B)