Question

如图所示，平面α ∥ 平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，AB，CD所在直线异面

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AD，作EG ∥ BD交AD于点G，连接FG，

因为AE：EB=CF：FD

∴EG ∥ BD，FG ∥ AC，

则EG ∥ β，FG ∥ α，

∵α ∥ β

∴FG ∥ β；

又因为；EG∩FG=G．

∴平面EFG ∥ β

而EF⊂平面EFG；

∴EF ∥ β

（Ⅱ）∵EG ∥ BD，FG ∥ AC且E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6；

∴EG=

1

2 BD=3，FG=

1

2 AC=2

∵AC，BD所成的角为60°，

∴∠EGF=120°或60°

∴EF=

EG 2 +FG 2 -2EG•FGcos∠EGF =

2 2 + 3 2 -2×2×3cos∠120° =

19 ；

或EF=

2 2 + 3 2 -2×2×3×cos∠60° =

7

即 EF=

19 或

7 ．