Question

求由曲面围成立体的质心.z=x^2+y^2,z=1,z=2,密度u=1;

Answer 1

这个立体的几何体是一个圆台,上底面半径是√2,下底面半径是1,高度是1.体积为V=1/3*π*((√2)^2*(2+√2)-1^2*(√2+1))=(√2+3)π/3

设圆台质量为m,则密度为m/V,因为圆台关于z轴对称,所以质心在z轴上,设质心距坐标原点h,则

h=(∫(from 1 to 2)π*r^2*(m/V)*zdz)/m

式中r=(√2-1)z+2-√2

所以可算出h=（149/12-(15√2)/2）π/V=627/28-(419√2)/28

所以质心位置为(0,0,h)

上面做的时候忽略了题中给出的密度,不过密度的数值无所谓的,不影响结果