解题思路:(1)细线AB上张力恰为零时,小球靠重力和拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出角速度ω1的大小.(2)细线AB刚好竖直,且张力为0时,由几何关系求出细线AC与竖直方向的夹角.细线AB松弛,根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出此时角速度ω2的大小.(3)根据牛顿第二定律分别求出ω≤ω1=522rad/s时、ω1≤ω≤ω2时、ω>ω2时拉力的大小,从而确定细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系,并作出图象.
解(1)细线AB上张力恰为零时,小球靠重力和拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有:
mgtan37°=m
ω21lsin37°
解得:ω1=
g
lcos37°=
50
4rad/s=
5
2
2rad/s
(2)细线AB恰好竖直,但张力为零时,设细线AC与竖直方向的夹角为θ′.
由几何关系得:cosθ′=
3
5,得θ'=53°
根据牛顿第二定律得:mgtanθ′=m
ω22lsinθ′
解得,ω2=
50
3rad/s
(3)当ω≤ω1=
5
2
2rad/s时,细线AB水平,细线AC上张力的竖直分量始终等于小球的重力:Tcosθ=mg;
解得:T=
mg
cosθ=12.5N.
ω1≤ω≤ω2时细线AB松弛,细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力,则有:
Tsinα=mω2lsinα,T=mω2l
ω>ω2时,细线AB在竖直方向绷直,仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力:Tsinθ'=mω2lsinθ'T=mω2l
综上所述:ω≤ω1=
5
2
2rad/s时,T=12.5N不变;ω>ω1时,T=mω2l=ω2(N),T-ω2关系图象如图所示
答:(1)角速度ω1的大小为[5/2]
2rad/s;(2)此时角速度ω2的大小为
50
3rad/s;(3)计算见上,在坐标图中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系图象如图所示.
点评:
本题考点: 向心力;物体的弹性和弹力.
考点点评: 解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源,确定小球运动过程中的临界状态,运用牛顿第二定律进行求解.