解题思路：（1）将a=1代入f（x）的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式，即得到f（x）在定义域上的单调递增区间．
（2）求出函数的导函数，求出导函数的根x=-a，通过讨论根-a与区间[1，e]的关系，分别判断出函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，求出a的值．
（1）当a=1时，f(x)＝lnx−
1
x，其定义域为（0，+∞）
f′(x)＝
1
x+
1
x2＝
x+1
x2
令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（2）f′(x)＝
1
x+
a
x2＝
x+a
x2，x∈（0，+∞）
①当a≥-1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=-a，
由−a＝
3
2，得a＝−
3
2（舍去）；
②当a≤-e时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝1−
a
e，
由1−
a
e＝
3
2，得a＝−
e
2（舍去）；
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0，得x0=-a．
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上为增函数．
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1，
由ln(−a)+1＝
3
2，得a＝−
e．
综上所述，a＝−
e．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 求函数的单调区间，只需令导函数大于0求出的区间为单调递增区间，令导函数小于0得到的区间为单调递减区间；解决含参数的函数的性质问题常需要对参数分类讨论．