Question

设二次函数f（x）=x2+ax+b．对任意实数x，都存在y，使得f（y）=f（x）+y，则a的最大值是 ___ ．

Answer 1

解题思路：先将原式化成f（y）-y=f（x）的形式，因为对任意实数x，都存在y，使得f（y）-y=f（x），则只需f（x）的值域是函数f（y）-y的值域的子集．则问题容易获解．

由已知得f（x）=x²+ax+b，f（y）=y²+ay+b．

则原式可化为对任意实数x，都存在y使得x²+ax=y²+ay-y恒成立，

令g（x）=x²+ax，h（y）=y²+ay-y，

则函数g（x）=x²+ax的值域是函数h（y）=y²+ay-y值域的子集．

g（x）=（x+[a/2]）²-

a2

4，值域为[-

a2

4，+∞），

h（y）=y²+（a-1）y=[y+（[a-1/2]）]²-

(a-1)2

4，值域为[-

(a-1)2

4，+∞），

从而-

a2

4≥-

(a-1)2

4，解得a≤[1/2]，

故a的最大值为[1/2]．

故答案为[1/2]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题重在理解题意，先将变量x与y分离后，即将原式化成两个函数值相等，结合题意即将问题转化为两个函数值域的包含关系．