已知直线y=ax+1与双曲线3x 2 -y 2 = - 知识问答

已知直线y=ax+1与双曲线3x 2 -y 2 =1；

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（1）联立方程组
3 x 2 - y 2 =1
y=ax+1 ，得(3- a 2 ) x 2 -2ax-2=0 ．
∵直线l与曲线C有两个交点P、Q，
∴
3- a 2 ≠ 0
△=4 a 2 -4(3- a 2 )×(-2)=0 或a²-3=0
∴
a 2 -3≠0
a 2 -6=0 或a= ±
3
∴a= ±
3 或 a=±
6
（2）设点P、Q的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由（1）可知，
x 1 + x 2 =
2a
3- a 2
x 1 x 2 =
-2
3- a 2 ．
∵以线段PQ为直径的圆经过原点，
∴
OP ⊥
OQ ，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即 ( a 2 +1)•
-2
3- a 2 +a•
2a
3- a 2 +1=0 ，解得a=±1
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

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