Question

已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1，若x∈

Answer 1

解题思路：先根据赋值法结合已知条件得到f（x+1）-f（x）=2x+4；再利用叠加法即可求出结论．

由题意：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1中令y=1，

则有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；

则f（x+1）-f（x）=2x+4；

所以：f（2）-f（1）=2×1+4；

f（3）-f（2）=2×2+4；

…

f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．

上面各式相加得：f（x）-f（1）

=2×1+2×2+…+2（x-1）+4（x-1）

=2×[1+2+…+（x-1）]+4（x-1）

=x²+3x-4；

∴f（x）=f（1）+x²+3x-4=x²+3x-3．

故选D．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查抽象函数及其应用以及叠加法求通项的应用．解决本题的关键在于根据赋值法结合已知条件得到递推式：f（x+1）-f（x）=2x+4．