(2003•海南)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于点E,F在DE上,并且AF=

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  • 解题思路:(1)ED是BC的垂直平分线,根据中垂线的性质:中垂线上的点线段两个端点的距离相等,得;EB=EC.由等边对等角得∠3=∠4,在直角三角形ACB中,∠2与∠4互余,∠1与∠3互余.∴∠1=∠2.∴AE=CE.又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形.∵FD⊥BC,AC⊥BC,∴AC∥FE.∴∠1=∠5.∴∠AEC=∠EAF,∴AF∥CE.∴四边形ACEF是平行四边形.

    (2)由于△ACE是等腰三角形,当∠1=60°时△ACE是等边三角形,有AC=EC,有平行四边形ACEF是菱形.

    (3)当四边形ACEF是矩形时,有∠2=90°,而∠2与∠3互余.∠3≠0°,∴∠2≠90°.∴四边形ACEF不可能是矩形.

    (1)证明:∵ED是BC的垂直平分线,

    ∴EB=EC.

    ∴∠3=∠4.

    ∵∠ACB=90°,

    ∴∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,

    ∴∠1=∠2.

    ∴AE=CE.

    又∵AF=CE,

    ∴△ACE和△EFA都是等腰三角形.

    ∴AF=AE,

    ∴∠F=∠5,

    ∵FD⊥BC,AC⊥BC,

    ∴AC∥FE.

    ∴∠1=∠5.

    ∴∠1=∠2=∠F=∠5,

    ∴∠AEC=∠EAF.

    ∴AF∥CE.

    ∴四边形ACEF是平行四边形.

    (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下:

    ∵∠B=30°,∠ACB=90°,

    ∴∠1=∠2=60°.

    ∴△EAC为等边三角形,

    ∴AC=EC.

    ∴平行四边形ACEF是菱形.

    (3)四边形ACEF不可能是矩形.理由如下:

    由(1)可知,∠2与∠3互余,

    ∠3≠0°,∴∠2≠90°.

    ∴四边形ACEF不可能是矩形.

    点评:

    本题考点: 线段垂直平分线的性质;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定.

    考点点评: 本题利用了:(1)中垂线的性质,(2)等边对等角和等角对等边,(3)直角三角形的性质,(4)平行四边形和判定和性质,(5)一组邻边相等的平行四边形是菱形,(6)矩形的性质.