Question

已知m为常数，函数f(x)＝m−2x1+m•2x为奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用函数是奇函数，建立方程f（-x）=-f（x），然后求m．

（2）利用指数函数的性质，判断函数的单调性．

（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，进而求实数k的最大值．

（1）∵函数f(x)＝

m−2x

1+m•2x为奇函数．

∴f（-x）=-f（x），

即f（-x）+f（x）=0，得

m−2−x

1+m•2−x+

m−2x

1+m•2x＝0，

∴整理得（m²-1）（2^x+2^-x）=0恒成立，

即m²=1，∴m=±1．

（2）∵m＞0，∴m=1，

此时函数f（x）=

1−2x

1+2x在R上单调递减．

（3）∵f（x²-2x-k）+f（2）≤0，

∴f（x²-2x-k）≤-f（2）=f（-2），

∵函数f（x）=

1−2x

1+2x在R上单调递减．

∴x²-2x-k≥-2，

即k≤x²-2x+2．

而g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，

∵x∈[-2，2]，

∴当x=-2时，g（x）有最大值g（-2）=10．

∴k≤10，从而k_max=10．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查学生分析命题，解决问题的能力．综合性较强．