Question

一道线性代数的题目设A为n阶方阵,A^k＝O,k属于正整数,求证I-A可逆,并写出逆矩阵的表达式.

Answer 1

证明：设A有特征值S,则A^k的特征值为S^k.（在线性代数的习题里有此类定理）.由A^k＝O可知：S^k=0（零矩阵的特征值只有0）.故S=0,可知I-A的特征值只有1,故|I-A|=1（对应的行列式值为1）所以I-A可逆.

由(I-A)*(A^(k-1)+A^(k-2)+.+A+I)=I-A^k=I可知：A的逆为A^(k-1)+A^(k-2)+.+A+I