Question

若方阵A、B满足A=E+B,且B^2=B.证明A可逆,并求A^-1

Answer 1

A=E+B --> A^2 = (E+B)^2 = E+2B+B^2

因 B^2=B 有：A^2 = E+2B+B = 3(E+B)-2E = 3A-2E ---> A^2-3A+2E=0 ---> (A-1.5E)^2=0.25E

---> A=E 或 A=2E .由于E是单位矩阵,可逆,则A可逆.

当A=E时,A^-1=E ;

当A=2E时,A^-1=0.5E.