Question

一束光线从点F 1 （-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F 2 （1，0）．

Answer 1

（1）设F ₁关于l的对称点为F（m，n），则

n

m+1 =-

1

2 且 2•

m-1

2 -

n

2 +3=0 ，

解得 m=-

9

5 ， n=

2

5 ，即 F(-

9

5 ，

2

5 ) ．

由

x+7y-1=0

2x-y+3=0 ，解得 P(-

4

3 ，

1

3 ) ．

（2）因为PF ₁=PF，根据椭圆定义，得2a=PF ₁+PF ₂=PF+PF ₂=FF ₂

=

(-

9

5 -1) 2 + (

2

5 -0) 2 =2

2 ，所以a=

2 ．又c=1，

所以b=1．所以椭圆C的方程为

x 2

2 + y 2 =1 ．

（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），

使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k _Qt•k _Qs=k（k为定值），

即

y

x-s •

y

x-t =k ，将 y 2 =1-

x 2

2 代入并整理得

(k+

1

2 ) x 2 -k(s+t)x+kst-1=0 （*）

．由题意，（*）式对任意x∈（-

2 ，

2 ）恒成立，

所以

k+

1

2 =0

k(x+t)=0

kst-1=0 ，

解之得

k=-

1

2

s=

2

t=-

2 或

k=-

1

2

s=-

2

t=

2 ．

所以有且只有两定点（

2 ，0），（-

2 ，0），

使得k _Qt•k _Qs为定值-

1

2 ．